Tydzień temu pisałem co nieco o twierdzeniu Pitagorasa w kalendarzu. Niektórzy pisali mi, że ten sposób nie działa. I dobrze – chciałem sprawdzić, kto czyta ze zrozumieniem, a kto tylko chłonie wszystko, co zostanie napisane 🙂 . Dziś omówię tamtą metodę.
Weźmy jakiś dzień tygodnia. Patrząc na kalendarz, jeśli udamy się „a” wierszy w dół, oraz „b” kolumn w prawo, to minie 7a+b dni (uwaga – „b” może być ujemne – wtedy oczywiście w praktyce idziemy w lewo).
To znaczy, że żeby ta dziwna własność związana z twierdzeniem Pitagorasa zadziałała, musi zachodzić równość
a2+b2=7a+b.
Teraz już widać, że to nie zawsze zachodzi. Jeśli się ktoś cofnie się do poprzedniego przykładu, może dokładnie sprawdzić, jakich „a” i „b” użyłem do poszczególnych przykładów – zarówno działających, jak i niedziałających.
Pojawia się pytanie, jak opisać wszystkie rozwiązania równania a2+b2=7a+b w liczbach całkowitych. Wtedy byśmy mogli dokładnie stwierdzić, kiedy zachodzi ta równość. Ja miałem taki pomysł – przerzućmy wszystko na jedną stronę:
a2+b2-7a-b=0.
To jest równanie okręgu, ale żeby nie bawić się w ułamki, ja bym to pomnożył razy 4, i dopiero pozwijał w kwadraty. Będzie kolejno:
4a2+4b2-28a-4b=0
(2a-7)2+(2b-1)2=50
Liczby podnoszone do kwadratu po lewej stronie są tak, czy siak, nieparzyste, więc tak naprawdę podstawiając x=2a-7 oraz y=2b-1 powstaje równoważne pytanie, ile rozwiązań ma równanie
x2+y2=50
dla x, y nieparzystych (w praktyce trzeba też uwzględnić „fizyczne” ograniczenia kalendarza).
Jakie wziąć kwadraty, żeby sumowały się do 50? Którym przykładom z ostatniego matematycznego wpisu odpowiają poszczególne „x” i „y”? Zostawiam to dla chętnych amantów matematyki 🙂
Andrzej skomentował ostatni wpis: „Jeśli się nie mylę, to takich par różnych dni w tym marcu jest 71 na 465, a więc tylko około 15%.”. Teraz już jest narzędzie, aby go sprawdzić 🙂 .
A może macie na to inne pomysły? W końcu to równanie w liczbach całkowitych, więc może być wiele innych sposobów na rozwiązywanie.