Pitagoras w kalendarzu – omówienie tego dziwnego sposobu

Tydzień temu pisałem co nieco o twierdzeniu Pitagorasa w kalendarzu. Niektórzy pisali mi, że ten sposób nie działa. I dobrze – chciałem sprawdzić, kto czyta ze zrozumieniem, a kto tylko chłonie wszystko, co zostanie napisane 🙂 . Dziś omówię tamtą metodę.

Weźmy jakiś dzień tygodnia. Patrząc na kalendarz, jeśli udamy się „a” wierszy w dół, oraz „b” kolumn w prawo, to minie 7a+b dni (uwaga – „b” może być ujemne – wtedy oczywiście w praktyce idziemy w lewo).

To znaczy, że żeby ta dziwna własność związana z twierdzeniem Pitagorasa zadziałała, musi zachodzić równość

a2+b2=7a+b.

Teraz już widać, że to nie zawsze zachodzi. Jeśli się ktoś cofnie się do poprzedniego przykładu, może dokładnie sprawdzić, jakich „a” i „b” użyłem do poszczególnych przykładów – zarówno działających, jak i niedziałających.

Pojawia się pytanie, jak opisać wszystkie rozwiązania równania a2+b2=7a+b w liczbach całkowitych. Wtedy byśmy mogli dokładnie stwierdzić, kiedy zachodzi ta równość. Ja miałem taki pomysł – przerzućmy wszystko na jedną stronę:

a2+b2-7a-b=0.

To jest równanie okręgu, ale żeby nie bawić się w ułamki, ja bym to pomnożył razy 4, i dopiero pozwijał w kwadraty. Będzie kolejno:

4a2+4b2-28a-4b=0

(2a-7)2+(2b-1)2=50

Liczby podnoszone do kwadratu po lewej stronie są tak, czy siak, nieparzyste, więc tak naprawdę podstawiając x=2a-7 oraz y=2b-1 powstaje równoważne pytanie, ile rozwiązań ma równanie

x2+y2=50

dla x, y nieparzystych (w praktyce trzeba też uwzględnić „fizyczne” ograniczenia kalendarza).

Jakie wziąć kwadraty, żeby sumowały się do 50? Którym przykładom z ostatniego matematycznego wpisu odpowiają poszczególne „x” i „y”? Zostawiam to dla chętnych amantów matematyki 🙂

Andrzej skomentował ostatni wpis: „Jeśli się nie mylę, to takich par różnych dni w tym marcu jest 71 na 465, a więc tylko około 15%.”. Teraz już jest narzędzie, aby go sprawdzić 🙂 .

A może macie na to inne pomysły? W końcu to równanie w liczbach całkowitych, więc może być wiele innych sposobów na rozwiązywanie.

Pitagoras w kalendarzu – czy to ma sens?

Przedstawiam nową, innowacyjną metodę udzielania odpowiedzi na pytanie, ile dni minęło pomiędzy dwoma datami w kalendarzu. Dam kilka przykładów, a każdy sam zauważy regułę 🙂 .

Na przykładzie – chcemy zbadać, ile dni upłynęło pomiędzy 5.03 a 30.03. Przestarzałe metody dałyby tu wynik 30-5=25. Obliczymy to inaczej!

Spójrzmy na kalendarz (2018.03). Możemy narysować trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 3 i 4. Używamy dobrze znanego motywu: 32+42=25. I mamy wynik 🙂

Inny przykład – między 11.03 a 29.03. Zgodnie z kalendarzem, 32+32=18, zgadza się!

A pomiędzy 4.03 a 9.03? 12+22=5. Proste?

A 26.03 i 27.03? Nasza metoda też tu nie zawiedzie, choć wykorzystanie może wydać się dziwne. Mamy oczywiście równość 02+12=1.

Regułę chyba każdy widzi.

Dla treningu – zadanie! Zgodnie z powyższą metodą, oblicz, ile dni upłynęło pomiędzy datami:
a) od 1.03 do 9.03 (ktokolwiek to czyta – ten jeden przykład niech każdy zrobi i wyciągnie wnioski! w pamięci, na podstawie kalendarza, który wrzuciłem! 🙂 )
b) od 1.03 do 31.03
c) od 6.03 do 19.03
d) od 13.03 do 30.03
e) od 14.03 do 21.03
f) od 19.03 do 21.03

Chyba wystarczy, aby docenić tę metodę 😀

Koniecznie wrzućcie swoje odpowiedzi, żeby można było porównać.